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冯落衣摇摇头:“以后的事情。谁知道呢?五六年前吧,我就没看出来,你居然能够循着那个完备性,一举击穿第二问、第十问——唔,说不定还要再添上第一问。”
“不过……”冯落衣的眼神突然锐利起来:“你好像总是很喜欢走弯路。”
“弯路?”
王崎错愕。力迫法才是完美解决连续统假设问题的不二之选啊?为什么是弯路?
“我最近看到了一个思路,很奇特,很有趣。”冯落衣盯着王崎的眼睛,道:“将所有可建立集合同和成一个系统,在无限中比较无限的大小……”
王崎错愕:“有人想出来了?”
这就是当初哥德尔证明连续统假设的思路!
在ZF公理允许的范围之内作推到,证明,若是ZF公理系统具备一致性,则连续统假设为真。在ZF公理体系之内,连续统假设无法被证伪。
对于二十三问来说,这应该已经算是一个完美的答案了。
但是,“不能证伪”并不代表“证实”。
沿着这个思路,人们同样可以证出,在ZF公理系统之内,连续统假设不能证实。
换句话说,连续统问题在集合论的范畴之内,是一个具备了不可判定性的问题。如果这个“不能证实也不能证伪”的结论再早一点,那么不用严格证明第十问,这就是对“可判定性”的一个绝对反例。
只有在现有公理体系之外,才能证明。
力迫法,就是冲出原有公理体系的束缚,自开体系、自定道路。
但是,若试集合论、现有公理系统为基石,那么这个“自创”的系统,又应该怎么算?基石之外?算学之内?
这也是力迫法重大意义的来源。
听到王崎的惊呼,冯落衣眼光一闪:“这个思路,你也想到过是吧?”
“隐约想到过,但是……不大喜欢。”王崎只能这么说了。若论理论论证过程的简明、流畅程度,科恩的力迫法远远不及哥德尔的思路。除非是傻了疯了,不然一般人都不会在前方还有的时候去闯出这条路的。
“又是没有根据的直觉?”冯落衣摇摇头,罕见的没有训斥王崎,只是感叹:“数年之前,似乎也生过这种事啊……你避开了一般人觉得正常的道路,走了歪路,直到前些日子里抛出不全之律,破了那完全之念,我才现,原来你前几年绕的远路,才是唯一的正路。”
冯落衣所指的,乃是王崎获得道种赏前后,用限归纳法证明算术系统一致性的道路。按照一般人所想,他应该根据自己证明的“一阶谓词逻辑系统完备”出,从一阶推向高阶。
但是,王崎当时选择的,却是一条无比远的路——在系统外证明系统内无矛盾。
众人会奇怪,明明有一条通天坦途,你偏不走,非要到系统外绕一圈,这不是傻吗?
当时,只有王崎明白,这个系统是做不到“不假外求”的。他绕的那一圈,才是必须的。
不过,这一次就不大一样了。哥德尔的那个证明思路,只不过没有力迫法那样意义大,没有力迫法那样无可辩驳的力度。实际上,这依旧是一条正路。
他只能说道:“这……真的只是个人喜好的问题。那个思路,应当是没有错的。”
“哦。”冯落衣点点头,也不知听没听进去。
“对了,老师。”王崎突然有些好奇了:“那个思路的提出者,到底是谁?”
到底是哪来的奇葩,居然可以独立思考出和哥德尔大神一模一样的思路?
冯落衣笑道:“你应该也认识。万法门真传,苏君宇。”
“苏师兄?他的领域包括逻辑吗?”王崎错愕。
印象当中,苏君宇那个家伙学习的领域非常杂,好像是什么都有,主要是概率和几何……额,这么想来的话,他好像也不是没有接触逻辑这一块的可能性啊?如果他那一天脑子一抽跑去学习逻辑——非常有可能嘛!
不过,这还真是奇妙的重合之处啊。王崎想到:力迫法的创始者科恩,研究领域就不是算学逻辑。他最开始只是单纯对第一问感兴趣,所以想要跨领域去掺一脚。他本人其实不能理解力迫法的巨大意义。
苏君宇估计也是这样想的吧……想要在第一问的领域掺一脚,结果这一腿掺出了大成就。
ps:依旧卡文中QaQ
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